МИЛЛИОН ЦИФР

В заголовке мы написали «миллион цифр», а точнее надо бы было сказать — миллион случайных цифр. Такая книжка, не содержащая ничего, кроме миллиона цифр, вышла в свет и нашла своих читателей. Возьмем ряд случайных цифр: 0, 1,9, 6, 7… Что, собственно го­воря, означает, что они образуют случайную последова­тельность? И кого интересует такой ряд? Начнем с от­вета на второй вопрос.

Представьте себе, что вы проводите обширный экс­перимент по агротехнике. Поле разбито на 1000 неболь­ших участков, каждый из которых должен быть ухожен определенным способом. Пускай способов таких (агро­технических систем) 10. Занумеруем их. Теперь нужно решить, на каком участке какую агротехническую си­стему применить. Для этого каждому участку припи— шем какую-либо цифру от 0 до 9, н притом сделаем так, чтобы приписка была совершенно случайной. Толь­ко при случайной нумерации наши выводы о целесооб­разности того или иного способа обработки почвы будут лишены сознательной или бессознательной ошибки, свя­занной с тем, что для какого-то «излюбленного» способа выбираются лучшие участки.

Поручить кому-либо называть цифры наобум нельзя, нельзя даже ребенку, который не заинтересован в про­паганде ваших или еще чьих-то агротехнических теорий, нельзя потому, что, оказывается, каждый человек пита­ет симпатию к одним и нелюбовь к другим цифрам. Поэтому «наобум» не будет означать «случайно». Ряды же случайных цифр нужны самым разным эксперимен­таторам: медикам и социологам, администраторам и полководцам, экономистам и метеорологам и многим — многим другим.

Нужду в случайных цифрах испытывают также и математики, решающие свои задачи так называемым методом Монте-Карло, который становится все более распространенным по мере увеличения числа электрон­но-вычислительных машин. Чтобы дать хоть некоторое представление об этом методе, приведем несколько про­стых примеров.

Мы хотим вычислить площадь произвольной слож­ной фигуры, какую представляет, ну скажем, Москов­ская область на карте. Площадь всей карты найти про­сто — надо помножить ее ширину на длину. А как быть с фигурой причудливой формы?

Представьте себе, что на карту падают капли дож­дя и случайным образом усеивают карту. Подсчитаем

общее число капелек и число капелек, попавших на интересующую нас Московскую область. Ясно, что от­ношение этих чисел должно равняться отношению пло­щади в се її карты к площади Московской области.

Разумеется, подставлять карту под дождь не надо. Каждую каплю можно представить двумя случайными числами (двумя координатами на плоскости), и тогда «заполнение площадей каплями» можно произвести мысленно. Но для этого также нужна книга случайных цифр, о которой у нас идет речь.

Еще пример. Во многих задачах требуется вычис­лить, через сколько времени достигнет заданного барье­ра некая точка, если известно, откуда она вышла, и сказано, что движется она случайными шагами одина­ковой длины, но направленными как попало. Разбив это «как попало» на 10 направлений (скажем, под уг­лами 36°, 72°, 108° и т. д.), мы можем перемещать точку при помощи книги случайных цифр.

Итак, случайные цифры нужны. Но что же такое ряд случайных цифр?

На первый взгляд безупречным выглядит следующее определение: нет правила, по которому можно было бы, закрыв пальцами любую из цифр книги, угадать, какая она, с вероятностью большей, чем 0,1 (потому что цифр 10).

Однако это определение не подходит, и вот почему. При помощи счетных машин с точностью до ста тысяч цифр после запятой вычислена величина «пи» — за­мечательное число, начинающееся цифрами 3,14… Если бы вы взглянули на эту последовательность, то она вам показалась бы идеально беспорядочной. Во всяком слу­чае, вы будете действительно угадывать любую цифру лишь с вероятностью 0,1. Более того, исследуя число «пи» повнимательнее, вы найдете, что у него нет склон­ности к какой-либо особенной цифре и все они встре­чаются в среднем одинаково часто. Вы не найдете так­же никаких особенностей в расположении двух или трех ближайших цифровых соседей. И тем не менее тот, кто знает, что это число «пи», может предсказать каждую следующую цифру.

Но дело обстоит еще хуже для составителей книги случайных цифр, когда исследуется еще одно число. Структура числа «пи» в глаза не бросается, а вот у та­кого числа, как 12345678910111213141516171819…, зако­номерность в расположении цифр — так сказать, узор ряда — вполне ясна. В то же время оказывается, что этот ряд удовлетворяет всем требованиям беспорядоч­ной серии: вероятность появления каждой цифры равна 0,1; двух определенных цифр рядом — 0,01; трех опре­деленных цифр — 0,001 и т. д. То есть никакие ком­бинации не имеют преимуществ.

После размышлений математики пришли к такому выводу: нет ничего странного в том, что ограниченная последовательность цифр обладает некоторым узором. При этом чем длиннее серии случайных цифр, тем ча­ще на отдельных ее отрезках будут встречаться самые странные узоры.

Все сказанное показывает, что было бы большой ошибкой ставить знак равенства между отсутствием узора в следовании цифр, штрихов или событий, с од­ной стороны, и случайностью этих событий — с другой. Вот вам пример: большего «беспорядка», чем располо­жение звезд на небе, пожалуй, не придумаешь. Тем не менее оно полно созвездий, имеющих характерный ри­сунок.

В ряду случайных событий, таких, как появление «черного» и «красного» в рулетке, мы найдем и длин­ные ряды одинакового цвета, и ряды, в которых мно­жество раз два «черных» чередуются с одним «крас­ным». Будут такие случаи, когда «красного» будет больше в четные дни месяца, а «черного» — в нечет­ные. Найдутся последовательности месяцев, когда чис­ло 13 упорно приходится на воскресенье. Любые такие события возможны, а чтобы увидеть их, надо просто подсчитать вероятность их появления и убедиться в том, что она больше одной миллионной.

Узоры случайностей — идея абстрактной живописи Джексона Поллока. Сообщалось, что этот «художник» выплескивает как попало на длинное полотно краски с помощью разных леек, шланг, ведер. Рассуждал Пол­лок вполне правильно. При совершенно случайном на­несении красок на полотно на нем будут образовывать­ся различные узоры, и не исключено, что часть из них будет смотреться с интересом и удовольствием.

Случайно возникающие узоры в форме или цвете создают красоту природы. Но беспорядок без узоров не производит впечатления; в нем нет никаких зритель­ных образов, — которые вызывали бы у зрителя ассо

циации и воспоминания. Беспорядок эмоционально беден.

Одним из способов введения порядка в беспорядок является наложение симметрии на хаотически разбро­санные цветовые пятна в бессюжетной декоративной живописи. Для этого художники зачастую прибегают к услугам калейдоскопа. Нехитрое это устройство, мно­гократно отражающее в системе зеркал случайное рас­положение нескольких десятков цветных пятен, создает выразительные узоры. Многие из них потом оказывают­ся рисунками на обоях.

Мастера декоративной живописи используют часто и другие приемы введения порядка в хаос цвета и формы, например ритмическое повторение рисунка вдоль запутанного пути: спирали, зигзаги и т. д.

Декоративная живопись смело могла бы принять на вооружение таблицы случайных цифр и некоторые при­емы теории вероятностей, но художники, как правило, еще сторонятся математики.

Эстетически невыразительной, по моему мнению, яв­ляется и противоположная крайность в расположении цветов и форм — идеальный порядок. Справедливость этого утверждения видна из того, что даже в архитек­туре идеальная симметрия и повторяемость вышли из моды.

Введением беспорядка в порядок заинтересовался один геометр, который стал известным живописцем. Пример творчества этого голландского художника Эшера читатель найдет в книге А. Шубникова и В. Коп — цика «Симметрия».

Довольно легко и широко стали использоваться идем и методы теории вероятностей в музыке. Так же, как декоративная живопись, музыка (мелодия) лежит «по­середине» между гудком телефона (порядок) и бегот­ней котенка по клавишам рояля (беспорядок)’. Следо­вание друг за другом нот подчиняется правилам ком­позиции лишь отчасти. Поэтому вполне правомерно поставить вопрос о вероятности следующей ноты в рам­ках правил, предписанных музыке. Но об испытании :<гармонии алгеброй» написано много научных работ и популярных книг. Не устоял против этой темы и я, по­святив ей несколько страниц в книге «Реникса». Там я рассказал, как, вводя различное число инструкций, накладывающих узы на хаотическое следование звуков, получают музыку различных стилей.

Такими приемами можно при желании исследовать музыкальную структуру того или иного произведения, можно характеризовать различных композиторов сте­пенью случайности в выборе соседних звуков. Насколь­ко мне известно, энтузиасты такого рода исследований встречаются редко. Причины надо, видимо, искать в различном духовном складе человека искусства и че­ловека точной науки.

Цель наших замечаний сводится к тому, чтобы пока­зать, что закономерности случая могут проявить себя в фактуре произведений искусства, а также и в том, чтобы отметить некоторые возможности использования миллиона случайных цифр в анализе предметов живопи­си, музыки, а может быть, и поэзии.