Сравнение математических способностей уличных торговцев в различных ситуациях показывает, что, правильно решая математические задачи в процессе своей работы, они не справляются с ними в школьной или похожей на школьную обстановке. Т. Каррахер, Каррахер и Шлиманн (Т. N. Carraher, Carraher & Schliemann, 1987) считают, что различия в выполнении задач в разных ситуациях можно объяснить использованием разных процедур. На работе или в рабочей ситуации предпочтительной является методика устного счета, которая часто ведет к получению правильного ответа. В школе и в обстановке, подобной школьной, предпочитаются письменные операции, которые часто ведут к неправильному результату. Эти Данные говорят о том, что качество и результативность математического мышления связаны с природой используемых представлений.
Очевидно, что уличные торговцы развили у себя базовые логические способности, необходимые для. решения арифметических задач в процессе работы; пробле —
Мы со школьной арифметикой, по-видимому, связаны с владением особой символической системой, принятой в школах. Школьный алгоритм, уделяя первоочередное внимание фиксированным операциям с числами при решении любой задачи, забывает о цели. Устные же методы счета, напротив, в процессе решения задач ориентированы на цель, что позволяет избежать бессмысленных ошибок.
Анализ общих характеристик математического знания, сформированного в обстановке повседневной жизни, последовательно свидетельствует о том, что цель и смысл являются наиболее важными и насущными моментами при решении повседневных задач. Более того, методы повседневных расчетов могут быть достаточно гибкими и восприниматься как составная часть общей логико-математической структуры, пригодной для решения задач в различных ситуациях, как было показано Шлиманном и Нунесом (Schliemann & Nunes, 1990) в исследовании вычислений рыбаков в северо-восточной Бразилии. Шлиманн и его коллеги (Schliemann & Magalhaes, 1990; см. также Schliemann & Carraher, 1992) приводят дополнительные свидетельства применимости повседневных методик для решения задач на пропорциональность, которые были получены при исследовании поварих, участвовавших в программе обучения взрослых чтению и письму.
По-видимому, бытовое знание имеет достаточно общий характер, чтобы позволить решать совершенно новые задачи с помощью стратегий, выработанных в конкретных повседневных ситуациях. И все же встает вопрос о границах повседневной математики, особенно если сравнить, насколько шире диапазон математических задач, решаемых в школе, по сравнению с кругом математических проблем в быту. Было бы заблуждением полагать, что повседневное математическое знание может в каком бы то ни было отношении конкурировать с профессиональным подходом к математике. Принимая во внимание имеющиеся данные исследований, мы должны признать ограниченность бытовой математики. Судя по всему, одни и те же культурные и социальные условия и способствуют формированию математического знания у детей и взрослых, и фактически сдерживают и ограничивают его, когда оно достигает определенного уровня. Знание переместительного закона умножения является хорошим тому примером. Петитто и Гинзбург (Petitto & Ginsburg, 1982) обнаружили, что необразованные портные и торговцы тканями народности диоула в Либерии решают задачу, требующую 100 умножить на 6, шесть раз складывая 100, не понимая, что тот же самый результат они получат в результате умножения 6 на 100. Шлиманн с коллегами (Schliemann, Araujo, Cassunde, Macedo & Niceas, 1994) получили подобные данные, исследуя в Бразилии молодых уличных торговцев, не имеющих достаточного уровня образования. Испытуемые производили расчет цены множества предметов, зная цену одного из них, повторяя операцию сложения в соответствии с количеством единиц товара. Когда использование переместительного закона давало возможность упростить процесс вычислений (например, нужно вычислить цену 50 единиц товара стоимостью по 3 доллара за штуку), они не понимали, что можно получить общую сумму, складывая количество единиц товара столько раз, сколько денежных единиц в цене товара. Более того, по сравнению со школьниками, которых обучали умножению, уличные торговцы признавали возможность использования переместительного закона при умножении лишь в более старшем возрасте.
Другой недостаток связан с использованием скалярного, а не функционального подхода при решении задач на пропорциональное соотношение. Уличные торговцы при необходимости вычислить цену заданного количества единиц товара при известной цене нескольких единиц, используют метод, который Верно (Vergnaud, 1988) назвал скалярным подходом к решению задач на пропорциональность, требующим вычисления отсутствующего значения. При таком подходе каждая из переменных понимается как независимая от другой, и с обеими переменными производятся параллельные преобразования, в процессе которых сохраняется соотношение между ними. При функциональном подходе, который проходят в школе, первоочередное внимание уделяется коэффициенту соотношения двух исходных значений двух переменных, который затем используется применительно к результирующей паре, в результате чего вычисляется недостающее значение. Использование исключительно скалярного подхода может создать определенные проблемы для уличных торговцев при решении задач, в которых соотношение между ценой и количеством предметов (функциональное соотношение) вычислить проще, чем соотношение между исходной и искомой величиной (скалярное соотношение). В то время как школьники чаще используют функциональное соотношение, уличные торговцы продолжают пользоваться скалярным методом, даже когда он требует громоздких вычислений (Schliemann & Carraher, 1992).
Изучение отрицательных чисел, которым занималась Т. Каррахер (Carraher, 1990), также говорит об ограниченности повседневных решений математических задач. Она обнаружила, что на основе своего повседневного опыта работы с деньгами как образованные, так и не имеющие образования испытуемые способны справиться задачами, требующими сложения относительных чисел, маркируя отрицательные числа как убытки или долги. Тем не менее когда испытуемых просили ввести письменное обозначение, это представляло для них определенные проблемы из-за несоответствия их повседневной практики школьной процедуре обращения с относительными числами,
С учетом сильных и слабых сторон бытовой математики, естественным образом встает вопрос о ее значимости для математического образования. Более подробно мы попытались ответить на этот вопрос в другом месте (D. W. Carraher & Schliemann, В печати). В следующем разделе мы представляем краткое изложение своего видения проблемы.